यदि intlimits_0^x {fleft( t right)} dt = {x^2 | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण: $\int\limits_0^x {f\left( t \right)} dt = {x^2} + \int\limits_x^1 {{t^2}f\left( t \right)dt}$.लीबनीज़ के नियम का उपयोग करके दोनों

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$\frac{24}{25}$

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(A) दिया गया समीकरण: $\int\limits_0^x {f\left( t ight)} dt = {x^2} + \int\limits_x^1 {{t^2}f\left( t ight)dt}$.लीबनीज़ के नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{d}{dx} \int\limits_0^x {f\left( t ight)} dt = \frac{d}{dx} ({x^2}) + \frac{d}{dx} \int\limits_x^1 {{t^2}f\left( t ight)dt}$.$f(x) = 2x - x^2 f(x)$.$f(x)$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:$f(x) + x^2 f(x) = 2x$.$f(x)(1 + x^2) = 2x$.$f(x) = \frac{2x}{1 + x^2}$.अब,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $f'(x)$ ज्ञात करें:$f'(x) = \frac{(1 + x^2)(2) - (2x)(2x)}{(1 + x^2)^2} = \frac{2 + 2x^2 - 4x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{2(1 - x^2)}{(1 + x^2)^2}$.$x = 1/2$ रखने पर:$f'(1/2) = \frac{2(1 - (1/2)^2)}{(1 + (1/2)^2)^2} = \frac{2(1 - 1/4)}{(1 + 1/4)^2} = \frac{2(3/4)}{(5/4)^2} = \frac{3/2}{25/16} = \frac{3}{2} 	imes \frac{16}{25} = \frac{24}{25}$.

यदि $\int\limits_0^x {f\left( t \right)} dt = {x^2} + \int\limits_x^1 {{t^2}f\left( t \right)dt} $ है,तो $f'(1/2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $F(x) = \frac{1}{x^2} \int_4^x (4t^2 - 2F'(t)) \, dt$ है,तो $F'(4)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int_0^{\pi / 2} \sin ^m x \cos ^4 x \, dx = \frac{7 \pi}{2048} \Rightarrow m = ?$

माना $H(x) = \int_{x^2}^{x^3} (x + 1) \sin(t^3) dt$ है। तो $\lim_{x \to 1} \frac{H(x)}{x - 1}$ का मान ज्ञात कीजिए:

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